本次数学辅导的主要内容是微积分Calculus相关
1.问题1
令vp∈Tp（X）。显示X中存在一条平滑曲线α，在一定间隔内定义
R中约0使得α（0）= p且
α′（0）= vp
ta1，…，xn（p）+ tan）假设
V = y2 + x3 + x
R2上的isavectorfield，f（x，y）= cos（x）+ 2sin（y），p =（π，π4）。计算V（p）（f）
3.问题3
令Rn具有标准的可微结构。固定一个p∈Rn，并为每个v∈Rn设
提示：在p处选择一个图表（U，φ），写v = ai∂| （ai = v（xi））并考虑α-1（x1（p）+
vp∈Tp（Rn）由下式定义
显示
是Rn与Tp（Rn）的同构
vp =α′（0）α：R→Rn
α（t）= p +电视v→vp
p∂xipp 2.问题2
4.问题4
令ψ：R3→R2为ψ（x，y，z）=（2x + y−z，x + 3z），令T∈（] R2）∗为T（u，v）= u-5v。
计算回撤（ψ∗ T）（x，y，z）
5.问题5
设φ：R2→R3为φ（u，v）=（u，v，u2 + v2），设g0为R3的欧几里得张量。通过将φ向回拉g0来计算度量g1。
1个
2 AMS 515家庭作业2
6.问题6
计算单变量柯西流形上的Fisher信息矩阵。
AMS 515 HOMEWORK 2
1. Question 1
Let vp ∈ Tp(X). Show that there exists a smooth curve α in X, define on some interval
about 0 in R such that α(0) = p and
α′(0) = vp
ta1,…,xn(p)+tan) Suppose that
V =y2 ∂ +x3 ∂ ∂x ∂y
isavectorfieldonR2,f(x,y)=cos(x)+2sin(y),andp=(π,π4). Compute V (p)(f )
3. Question 3
Let Rn have the standard differentiable structure. Fix a p ∈ Rn and for each v ∈ Rn let
Hint: choose a chart (U, φ) at p, write v = ai ∂ | (ai = v (xi))and consider α−1(x1(p) +
vp ∈ Tp(Rn) be defined by where
Show that
is an isomorphism of Rn to Tp(Rn)
vp = α′(0) α : R → Rn
α(t) = p + tv v → vp
p ∂xip p 2. Question 2
4. Question 4
Let ψ : R3 → R2 be ψ(x,y,z) = (2x+y−z,x+3z) and let T ∈ (]R2)∗ be T(u,v) = u−5v.
Compute the pullback (ψ∗T )(x, y, z)
5. Question 5
Let φ : R2 → R3 be φ(u,v) = (u,v,u2 + v2) and let g0 be the Euclidean metric tensor on R3. Compute the metric g1 by pulling back g0 back by φ.
1
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6. Question 6
Compute the Fisher information matrix on the univariate Cauchy manifold.
